Question

已知向量

a

=(ex+

x

2

，-x)，

b

=(1，t)，若函数f(x)=

a

•

b

在区间（-1，1）上存在单调递增区间，则t的取值范围是

（-∞，e+

1

2

）

．

Answer 1

分析：先根据平面向量的数量积公式求出函数f（x）的解析式，欲使函数f(x)=

a

•

b

在区间（-1，1）上存在单调递增区间
即使f′（x）＞0在区间（-1，1）上有解即可．

解答：解：f(x)=

a

•

b

=ex+

x

2

-tx
则f′（x）=e^x+（

1

2

-t）
∵函数f(x)=

a

•

b

在区间（-1，1）上存在单调递增区间
∴f′（x）=e^x+（

1

2

-t）＞0在区间（-1，1）上有解
即t＜e^x+

1

2

在区间（-1，1）上有解
而在区间（-1，1）上

1

e

+

1

2

＜e^x+

1

2

＜e+

1

2

∴t＜e+

1

2

故答案为：（-∞，e+

1

2

）

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．