题目内容

已知向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（
3
cosx，cosx），若f（x）=
a
•
b
-
3
2
．
（1）写出函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的值域．
分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角公式和辅助角公式化简整理得f（x）=sin（2x+
π
3
），再根据正弦函数图象对称轴方程的公式，即可得到函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+
π
3
），而x∈[0，
π
2
]时2x+
π
3
∈[
π
3
，
4π
3
]，结合正弦函数的图象与性质得到函数的最大值为f（
π
12
）=1，最小值为f（
π
2
）=-
3
2
．由此即可得出函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的值域．
解答：解：（1）∵向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（
3
cosx，cosx），
∴
a
•
b
=
3
cos2x+sinxcosx=
3
2
（1+cos2x）+
1
2
sin2x=sin（2x+
π
3
）+
3
2

由此可得f（x）=
a
•
b
-
3
2
=[sin（2x+
π
3
）+
3
2
]-
3
2
=sin（2x+
π
3
）
∵令2x+
π
3
=
π
2
+kπ（k∈Z），得x=
π
12
+
1
2
kπ（k∈Z）
∴取k=0，得函数y=sin（2x+
π
3
）图象的一条对称轴方程为x=
π
12

即函数y=f（x）图象的一条对称轴方程为x=
π
12
．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+
π
3
）
∵x∈[0，
π
2
]，得2x+
π
3
∈[
π
3
，
4π
3
]
∴当2x+
π
3
=
π
2
时，即x=
π
12
时，f（x）有最大值为1；
当2x+
π
3
=
4π
3
时，即x=
π
2
时，f（x）有最小值为-
3
2

因此，可得函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的值域为[-
3
2
，1]．
点评：本题以向量数量积为载体，求函数的值域和图象的对称轴方程．着重考查了向量数量积坐标运算公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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