Question

（本题满分14分）

如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，.

（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，

四边形都为矩形；

（Ⅱ）当时，

求几何体的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）在直四棱柱中，，

∵，∴， ---------------------------------------2分

又∵平面平面，

平面平面，

平面平面，

∴，∴四边形为平行四边形，---------------------------------------4分

∵侧棱底面，又平面内，

∴，∴四边形为矩形；                ---------------------------------------6分

（Ⅱ）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，

∴侧棱底面，又平面内，

∴，                                               ---------------------------------------8分

在中，，，则；              ---------------------------------------9分

在中，，，则；                ---------------------------------------10分

在直角梯形中，；

∴，即，

又∵，∴平面；        ---------------------------------------12分

由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，

∴矩形的面积为，

∴几何体的体积为．-----------------------------14分