Question

已知函数f（x）=x²-mx（m∈R），g（x）=lnx．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），当m=1时，求函数h（x）的单调区间；
（2）若对任意有意义的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）求证：当m＞1时，方程f（x）=g（x）有两个不等的实根．

Answer 1

分析：（1）先求出m=1时，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），再求出h′(x)=2x-1-

1

x

，利用导数求函数的单调区间；
（2）对任意有意义的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即x²-mx＞lnx，其中x＞0，用分离常数的思想，得出m＜

x2-lnx

x

在x＞0恒成立，问题转化为求

x2-lnx

x

最小值，令t(x)=x-

lnx

x

，求导数，研究函数的单调性，求出它的最小值，即可求出m的取值范围；
（3）构造新函数h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，则研究f（x）=g（x）有两个不等的实根问题转化为h（x）有两个零点问题，下可以采取求出h（x）的导数，研究出函数的极值，再根据m＞1研究极值的符号，确定函数有几个零点，从而证明f（x）=g（x）两个不等的实根

解答：（1）当m=1时，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），h′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

(x＞0)，…（3分）
当0＜x＜1时，h'（x）＜0，∴h（x）的单调减区间为（0，1）；…（4分）
当x＞1时，h'（x）＞0，∴h（x）的单调增区间为（1，+∞）．…（5分）
（2）f（x）＞g（x）等价于x²-mx＞lnx，其中x＞0，∴m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

…（6分）
令t(x)=x-

lnx

x

，得t′(x)=

x2+lnx-1

x2

，…（7分）
当0＜x＜1时，t'（x）＜0，当x＞1时，t'（x）＞0，
∴m＜t（x）_min=t（1）=1，
∴m＜1…（10分）
（3）设h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，，其中x＞0．
∵h′(x)=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等价于2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一个正根为x0=

m+ m2+8

4

，…（11分）
且当x∈（0，x₀）时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，+∞）上单调递增；
∴函数只有一个极值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．…（12分）
当m＞1时，x0=

m+ m2+8

4

，关于m在（1，+∞）递增，
∴x₀∈（1，+∞），lnx₀＞0．…（13分）
∵m＞1，∴(m2+8)-9m2=8(1-m2)＜0，

m2+8

＜3m∴x0-m=

m+ m2+8

4

-m=

m2+8 -3m

4

＜0，…（14分）
h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0，…（15分）
当m＞1时，方程f（x）=g（x）有两个不等的实根．…（16分）

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．