题目内容

设函数 $数学公式$ ，数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设 $数学公式$ ，若 $数学公式$ 恒成立，求实数t的取值范围．

解：（I）由 $\text{[math]}$ 可得a_n-a _n-1= $\text{[math]}$ ，n≥2，
故数列{a_n}为等差数列，
又a₁=1，
它的通项公式a_n= $\text{[math]}$ ．
（II） $\text{[math]}$ ，
由（I）得a_n= $\text{[math]}$ ．a_n+1= $\text{[math]}$ ．
∴a_na_n+1= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴Sn= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?t $\text{[math]}$ ，令g（n）= $\text{[math]}$ ，
g（n）= $\text{[math]}$ =2n+3+ $\text{[math]}$ -6，由于2n+3≥5，故g（n）的最小值为 $\text{[math]}$ ，
∴t $\text{[math]}$ ，
∴实数t的取值范围（-∞， $\text{[math]}$ ]．
分析：（I）由 $\text{[math]}$ 推出递推关系式a_n-a _n-1= $\text{[math]}$ ，n≥2，从而有数列{a_n}为等差数列，最后写出通项公式．
（II）由（I）得a_n= $\text{[math]}$ ．a_n+1= $\text{[math]}$ ．得出a_na_n+1= $\text{[math]}$ ，从而有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用拆项法求和Sn，再结合题设利用函数的最小值，从而求得实数t的取值范围．
点评：本题考查数列的求和、数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．