Question

已知函数f（x）=log₂（x²-ax-a）在区间（-∞，?1-

3

]上是单调递减函数．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先令g（x）=x²-ax-a，化为二次函数的顶点形式，根据复合函数的增减性判断方法得到g（x）为单调递减函数且根据对数定义得到g（x）＞0，列出关于a的不等式求出解集即可．

解答：解：令g（x）=x²-ax-a，
则g（x）=(x-

a

2

)2-a-

a2

4

，由以上知g（x）的图象关于直线x=

a

2

对称且此抛物线开口向上．
因为函数f（x）=log₂g（x）的底数2＞1，在区间（-∞，1-

3

]上是减函数，
所以g（x）=x²-ax-a在区间（-∞，1-

3

]上也是单调减函数，且g（x）≥0．
∴

1- 3 ≤ a 2 g(1- 3 ) ≥0

，即

a≥2-2 3 (1- 3 )2-a(1- 3 )-a≥0

，
∴解得2-2

3

≤a≤2．
故a的取值范围是{a|2-2

3

≤a≤2}．

点评：考查学生会求复合函数的单调区间的能力，以及理解函数恒成立的条件的能力．