Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前 n项和，且满足，n∈N^*．数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在中，令n=1，n=2，即可求得数列的通项，利用裂项法，可求T_n；
（2）分n为偶数、奇数时，利用分离参数法，通过求函数的最值，即可确定λ的取值范围；
（3）利用等比数列的性质可得，进一步可得，由此可得结论．
解答：解：（1）在中，令n=1，n=2，
得，即        …（1分）
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
又∵a_n=2n-1时，满足，∴a_n=2n-1…（2分）
∵，
∴T_n=（1-+-+…+）=．   …（4分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    …（5分）
∵≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ 需满足λ＜25．              …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …（7分）
∵是随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值-6．
∴此时λ 需满足λ＜-21．            …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3），
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则，
即．                           …（10分）
由，可得，即-2m²+4m+1＞0，
∴．                 …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比数列．…（13分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的定义与性质、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、分类与整合的思想、转化与化归的思想．