Question

数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

(n∈N*)．
（1）证明：数列{

1

an-1

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．并证明数列{a_n}是单调递增数列．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

1

2-an

(n∈N*)，我们可以给出

1

an+1-1

-

1

an-1

，化简后，可得一个常数，再由a1=

1

2

，得

1

a1-1

=-2，则易证明数列{

1

an-1

}是等差数列；
（2）由（1）的结论，我们不难给出数列{

1

an-1

}的通项公式，进而给出数列{a_n}的通项公式，判断a_n+1-a_n的符号，即可判断数列的单调性．

解答：解：（1）∵

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1 2-an -1

-

1

an-1

=

2-an

-1+an

-

1

an-1

=

-an+1

an-1

=-1，
而

1

a1-1

=-2，
∴数列{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列．
（2）由（1）得

1

an-1

=-n-1，
∴an=

n

n+1

．
∵an+1-an=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

(n2+2n+1)-(n2+2n)

(n+2)(n+1)

=

1

(n+2)(n+1)

＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴数列{a_n}是单调递增数列．

点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．