Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设点P为曲线C上的动点，点M，N为直线上的两个动点，若是以为直角的等腰三角形，求直角边长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲线C：，直线：；（2）

【解析】

(1)根据参数方程中相等的原则求解出直线的普通方程，根据写出曲线的直角坐标方程；

(2)根据等腰直角三角形的直角边长等于直角顶点到底边的长度的倍，将点设为参数形式并利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性求解出最小值.

（1）曲线C可化为：

曲线C的直角坐标方程为，即

直线的普通方程为：

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数），

则点P到直线的距离为：

要使是以为直角的等腰三角形，则直角边长为.

所以，当时，直角边长取最小值.