Question

已知函数f（x）=-2x+2（

1

2

≤x≤1）的反函数为y=g（x），a₁=1，a₂=g（a₁），a₃=g（a₂），…，a_n=g（a_n-1），…，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

由已知得g（x）=-

x

2

+1（0≤x≤1），则a₁=1，a_n+1=-

1

2

a_n+1．
令a_n+1-P=-

1

2

（a_n-P），则a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

P，比较系数得P=

2

3

．
由定义知，数列{a_n-

2

3

}是公比q=-

1

2

的等比数列，则a_n-

2

3

=（a₁-

2

3

）•（-

1

2

）^n-1=

2

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]．
于是a_n=

4

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ．
Sn=a1+a2++an=

2

3

n+

1

3

[1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2++(-

1

2

 )n-1]
=

2

3

n+

1

3

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

=

2

3

n+

2

9

[1-(-

1

2

)n]（12分）