Question

已知函数f(x)=4sin2x•sin2(x+

π

4

)+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若g(x)=f(x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在x=

π

3

处取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式化简f（x）为一个角的三角函数，再根据正弦函数的最小正周期为2π来求；
（II）可求得g（x）=2sin（2x+2φ）+1，利用在x=

π

3

处取得最大值时，角2x+2φ=2kπ+

π

2

，k∈z，求出φ．
（III）根据正弦函数的单调增区间是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z，整体代入，通过解不等式解得函数g（x）的单调增区间．

解答：解：f（x）=4sin2x•

1-cos(2x+ π 2 )

2

+cos4x=2sin2x•（1+sin2x）+cos4x=2sin2x+2sin²2x+1-2sin²2x=2sin2x+1．
（Ⅰ）T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
∵在x=

π

3

处取得最大值，∴2×

π

3

+2φ=2kπ+

π

2

，k∈z，
解得φ=-

π

12

+kπ，k∈z，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=-

π

12

．
（III）g（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
∴g（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题考查了倍角的正弦、余弦函数，考查了正弦函数的周期性，单调性及求法．利用三角公式化简三角函数是解答本题的关键．