Question

设正项等比数列{a_n}的首项a1=

1

2

，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0得2¹⁰（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀，由此可推出an=a1qn-1=

1

2n

，n=1，2，.
（Ⅱ）由题设知Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，nSn=n-

n

2n

.数列{nS_n}的前n项和Tn=(1+2++n)-(

1

2

+

2

22

++

n

2n

)，

Tn

2

=

1

2

(1+2++n)-(

1

22

+

2

23

++

n-1

2n

+

n

2n+1

).由此可知答案．

解答：解：（Ⅰ）由2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0得2¹⁰（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀，
即2¹⁰（a₂₁+a₂₂+…+a₃₀）=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀，
可得2¹⁰•q¹⁰（a₁₁+a₁₂+…+a₂₀）=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀．
因为a_n＞0，所以2¹⁰q¹⁰=1，解得q=

1

2

，因而an=a1qn-1=

1

2n

，n=1，2，.
（Ⅱ）由题意知Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，nSn=n-

n

2n

.
则数列{nS_n}的前n项和Tn=(1+2++n)-(

1

2

+

2

22

++

n

2n

)，

Tn

2

=

1

2

(1+2++n)-(

1

22

+

2

23

++

n-1

2n

+

n

2n+1

).
前两式相减，得

Tn

2

=

1

2

(1+2++n)-(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2n+1

即Tn=

n(n+1)

2

+

1

2n-1

+

n

2n

-2.

点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．