Question

程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．
（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a（1+0.5%）-x元）

Answer 1

【答案】分析：设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a_n万元，每月固定还款x万元，然后根据题意建立递推关系，构造新数列为等比数列，求出通项公式，根据a₃₆₀=0建立方程，求出x即可得到所求．
解答：解：设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a_n万元，每月固定还款x万元，则
a_n=a_n-1（1+0.5%）-x，a=50            …（5分）
a_n+k=1.005（a_n-1+k）
a_n=1.005a_n-1+0.005k
所以 k=-200x，{ a_n-200x }是公比为1.005的等比数列      …（8分）
即  a_n-200x=（a-200x）•1.005ⁿ．
由a₃₆₀=0得     0-200x=（50-200x）•1.005³⁶⁰．…（13分）
利用计算器可以求得  x=0.299775万元，即每月还款2997.75元…（16分）
点评：本题主要考查了数列的应用，以及求通项构造法是常用的方法，同时考查了计算能力，属于中档题．