Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥

xy

25

．
（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质P；
（II）求证：

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

；
（III）求证：n≤9．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥

xy

25

．代入可判断
（Ⅱ）依题意有 |ai-ai+1|≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此 ai+1-ai≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)．由此能够证明

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

（III）由

1

a1

＞

n-1

25

，a≥1可得 1＞

n-1

25

，因此n＜26．同理

1

ai

-

1

an

≥

n-i

25

，可知

1

ai

＞

n-i

25

．由此能够推导出n≤9．

解答：解：（I）由于|1-2|≥

1×2

25

，|1-3|≥

1×3

25

，|1-4|≥

1×4

25

，|2-3|≥

2×3

25

，|2-4|≥

2×4

25

，|3-4|≥

3×4

25

，
∴集合{1，2，3，4}具有性质P；
（Ⅱ）依题意有 |ai-ai+1|≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，又a₁＜a₂＜…＜a_n，
因此 ai+1-ai≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，
可得

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)；
所以

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+

1

ai

-

1

ai+1

++

1

an-1

-

1

an

≥

n-1

25

，即

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

（III）由

1

a1

＞

n-1

25

，a≥1可得 1＞

n-1

25

，因此n＜26，
同理

1

ai

-

1

an

≥

n-i

25

，可知

1

ai

＞

n-i

25

．又a_i≥i，可得

1

i

＞

n-i

25

所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，可知n＜10．
又当n≤9时，i(n-i)≤(

i+n-i

2

)2=(

n

2

)2＜25，所以n≤9．

点评：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化．