Question

4．已知函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{2}$）（其中ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，可得4x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，从而可求f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[1，$\frac{3}{2}$]，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx•cosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，∴4x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（4x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[1，$\frac{3}{2}$]，
当4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值为1；
当4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$；
∴函数f（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为1．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．