Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的取值范围；
（2）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，设P（x，y），则可得

PF1

=(-

3

-x，y)，

PF2

=(

3

-x，y)
，代入向量的数量积可得

PF1

•

PF2

=

1

4

(3x2-8)，由二次函数的性质可求
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），联立

y=kx x2 4 +y2=1

消去y整理可得（1+4k²）x²=4，解方程可求x₁，x₂
根据点到直线的距离公式可求，点E，F到直线AB的距离h₁，h₂，代入四边形AEBF的面积为S=

1

2

|AB|(h1+h2)，结合基本不等式可求面积的最大值

解答：解：（1）由题意可知a=2，b=1，
∵c=

a2-b2

=

3

∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，设P（x，y）
∴

PF1

=(-

3

-x，y)，

PF2

=(

3

-x，y)

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，y)•(

3

-x，y)=x²+y²-3（3分）
=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)
由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴0≤x²≤4，
∴-2≤

3x2-8

4

≤1
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1（5分）
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），联立

y=kx x2 4 +y2=1

消去y整理可得（1+4k²）x²=4
∴x1=-

2

4k2+1

，x2=

2

4k2+1

（7分）
∵A（2，0），B（0，1）
∴直线AB的方程为：x+2y-2=0
根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为
h1=

|x1+2kx1-2|

5

=

2(1+2k+ 1+4k2 )

5(1+4k2)

（8分）
h2=

|x2+2kx2-2|

5

=

2(1+2k- 1+4k2 )

5(1+4k2)

∴h1+h2=

4(1+2k)

5(1+4k2)

（9分）
∴|AB|=

22+1

=

5

∴四边形AEBF的面积为S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

×

5

×

4(1+2k)

5(1+4k2)

=

2(1+2k)

1+4k2

= 2

1+4k+4k2 1+4k2

（10分）

=2

1+ 4 4k+ 1 k

≤2

2

（当且仅当4k=

1

k

即k=

1

2

时，上式取等号，所以S的最大值为2

2

（12分）

点评：本题主要考查了由椭圆的方程及解椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示及二次函数的性质的应用，直线与曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于直线与圆锥曲线的综合性试题