Question

【题目】设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；

记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.

记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.

（1）设，，请计算，，；

（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；

（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）29

【解析】

（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．

（2）可求，，通过反证法证明，

（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．

（1）由题意知等差数列的通项公式为：；

等差数列的通项公式为：，

得，

则，，

得，

故．

（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；

等差数列的通项公式为：，

得，，．

得，，，．

所以若，则存在，，使，

若，则存在，，，使，

因此，对于正整数，考虑集合，，，

即，，，，，，．

下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．

反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，

又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，

不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，

所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．

即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，

则存在，使，，，即，，，

由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，

设，则，且，，，，

所以，当，时，对于整数，若，则成立．

（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．

则对于整数，存在，，，，，使成立，

整理，得，

又因为，，

所以且是7的倍数，

因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．

所以对于整数，若，则，

又由第二问，对于整数，则，

所以的最大值，就是集合中元素的最大值，

又因为，，，，

所以．