Question

【题目】设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数=（），利用导数判断函数的单调性，从而求解a的值.

试题解析：（Ⅰ）

<0，在内单调递减.

由=0有.

当时，<0，单调递减；

当时，＞0，单调递增.

（Ⅱ）令=，则=.

当时，＞0，所以，从而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.

当，时，=.

故当＞在区间内恒成立时，必有.

当时，＞1.

由（Ⅰ）有,而，

所以此时＞在区间内不恒成立.

当时，令=（）.

当时，=.

因此，在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.

综上，.