Question

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．
（Ⅲ）求凸多面体ABCED的体积．

Answer 1

分析：（I）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF∥GD，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE． 
（Ⅲ）由已知可判断四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B-ACED的高，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF=

1

2

CE=DA，…（5分）
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…（10分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．       …（12分）
（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC，…（1分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，
即AB为四棱锥B-ACED的高，…（2分）
∴VB-ACED=

1

3

•SACED•AB=

1

3

×

1

2

×(1+CE)×1×1=

1

2

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是得到四边形GFAD为平行四边形，（II）的关键是证得GD⊥平面BCE，（III）的关键是计算出棱锥的底面面积及高．