Question

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F为BC的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面BCE；
（2）求凸多面体ABCED的体积．

Answer 1

分析：（1）取BE的中点G，连结DG、FG，利用等腰三角形“三线合一”证出AF⊥BC，根据三角形中位线定理结合线面垂直的判定与性质证出GF⊥AF，从而得出AF⊥平面BEC，由DG∥AF得DG⊥平面BEC，再根据面面垂直的定理即可证出平面BED⊥平面BCE；
（2）根据EC⊥平面ABC，利用面面垂直的判定证出平面ACDE⊥平面ABC，由勾股定理的逆定理证出AB⊥AC，根据面面垂直的性质得AB⊥平面ACDE，可得AB为四棱锥B-ACED的高．算出直角梯形ACED的面积，并利用锥体的体积公式算出四棱锥B-ACED的体积，即可得出凸多面体ABCED的体积．

解答：解：（1）取BE的中点G，连结DG、FG，
∵AB=AC=1，F为BC的中点，∴AF⊥BC．
∵GF是△BCE的中位线，∴EC∥GF，
∵EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又∵AF?平面ABC，∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，∴DG⊥平面BCE．
又∵DG?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE；
（2）∵AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴四边形ACED为直角梯形；
∵EC?平面ACDE，EC⊥平面ABC，∴平面ACDE⊥平面ABC，
∵AC²+AB²=2=BC²，∴∠BAC=90°，可得AB⊥AC，
∵AB?平面ABC，平面ACDE∩平面ABC，
∴AB⊥平面ACDE，可得AB为四棱锥B-ACED的高．
由此可得V_B-ACED=

1

3

×SABCD×AB=

1

3

×

1

2

×（1+2）×1×1=

1

2

，即凸多面体ABCED的体积为

1

2

．

点评：本题给出凸多面体满足的条件，求证面面垂直并求锥体的体积．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．