Question

    已知整数数列满足：，.

(1) 求数列的通项公式；

(2) 将数列中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

……

依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为，

求的值；

(3) 令 (为大于等于的正整数)，问数列中是否存在连续三项成等比数列？

若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）因为数列是整数列，所以是整数， 所以都是整数，

又，所以.……3分

即数列是首项为1，公差的等差数列，

所以.                                      ……………5分

（2）设每一个循环（4行）记为一组，由于每一个循环含有4行，

故是第25个循环中第4行中各数之和.                      ……………6分

由循环分组规律知，每个循环共有10项，

故第25个循环中的第4行内的4个数分别为数列 的第247项至第250项，又，

所以.…8分

又，所以.      ……………10分

（3）因为， 设数列中，成等比数列，

即，所以.

化简得.  (*)                               ……………12分

当时，，等式(*)成立，而，故等式(*)不成立；

当时，，等式(*)成立；

当时，，这与矛盾，

这时等式(*)不成立.                               …………   …14分

综上所述，当时，数列中不存在连续三项成等比数列；

当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50. ………16分