Question

16．（1）求证$\frac{1}{2}≤\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}＜1$，（n∈N^*）
（2）已知a，b，c∈R，且a=b+c+1．证明：两个一元二次方程x²+x+b=0，x²+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）用裂项法进行数列求和可得$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，由此证得结论．
（2）假设两方程均没有两个不相等实数根，化简得出矛盾，从而得出结论．

解答 解：（1）证明：∵$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，n∈N^*，
∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
（2）证明：假设两方程均没有两个不相等实数根，
则对于x²+x+b=0，△=1-4b≤0，化简可得b≥$\frac{1}{4}$．
∵a=b+c+1，∴a≥c+$\frac{5}{4}$．
对于x²+ax+c=0，△′=a²-4c≤0，即a²≤4c，
∴4c≥c²+$\frac{5}{2}$ c+$\frac{16}{25}$，即  ${（c-\frac{3}{4}）}^{2}$+1≤0，矛盾，
故两个一元二次方程x²+x+b=0，x²+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

点评 本题主要考查用裂项法进行数列求和，用反证法证明数学命题，属于中档题．