Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①对任意n∈N*，恒成立；②对任意n∈N*，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立，
(1)若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项和，且a₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系；
(2)设数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围。

Answer 1

解：(1)设等差数列{a_n}的公差是d，则，解得，
∴，
∴，
∴，适合条件①，
又，
∴当n=4或n=5时，S_n取得最大值20，即S_n≤20，适合条件②，
综上，{S_n}∈W。
(2)，
∴当n≥3时，，此时数列{b_n}单调递减，
当n=1，2时，，即b₁＜b₂＜b₃，因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞)。