Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①对任意n∈N⁺，

an+an+2

2

≤a_n+1，恒成立；②对任意n∈N⁺，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，且a₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由已知a₃=4，S₃=18再根据a_n=a₁+（n-1）d，sn=na1+

n(n-1)

2

d可求出a₁、d及S_n，然后根据等差数列的求和公式求出s_n，比较得

Sn+Sn+2

2

-sn+1的正负，看是否符合条件①；再由S_n的公式判断是否符合条件②；若都否和，则{S_n}∈W．
（Ⅱ）首先根据已知条件{b_n}∈W知{b_n}符合条件②，故必须求出{b_n}的最大值，因而由b_n+1-b_n=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时数列{b_n}单调递减，当n=1，2时，b_n+1-b_n＞0，b₁＜b₂＜b₃，因此可以得出数列{b_n}中的最大项是b₃=7，进而可知M≥7．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，则

a1+2d=4 3a1+3d=18

，解得

a1=8 d=-2

，（2分）
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-n²+9n，
∴

Sn+Sn+2

2

-S_n+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)

2

=

an+2-an+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴得

Sn+Sn+2

2

＜S_n+1，适合条件①．（5分）
又S_n=-n²+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
∴所以当n=4或n=5时，S_n取得最大值20，即S_n≤20，适合条件②．（7分）
综上，{S_n}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹-5n+=5-2ⁿ，
∴当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时数列{b_n}单调递减；（11分）
当n=1，2时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，（12分）
因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞）．（14分）

点评：本题主要考等差数列的公式及等差数列和的公式的应用以及集合之间的关系和最值问题，属于中档题．