Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①

an+an+2

2

≤an+1②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数
（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设Cn=

1

5

[bn+(m-5)n]+

2

，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，验证

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1，S_n≤20，即可得到结论；
（2）由b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大项是b₃=7，从而可得m的值；
（3）利用反证法．假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_p•b_r，由此可得p=r与p≠r矛盾，从而得证．

解答：（1）解：设数列的首项为a₁，公差为d，则

a1+2d=4 a1+d=6

，∴a₁=8，d=-2
∴S_n=-n²+9n，∴

Sn+Sn+2

2

-Sn+1=

-n2+9n-(n+2)2+9(n+2)

2

+（n+1）²-9（n+1）=-1＜0
∴

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1满足①
∵Sn=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
∴当n=4或5时，S_n取最大值20
∴S_n≤20满足②，∴{S_n}∈W          …（4分）
（2）解：∵b_n+1-b_n=5-2ⁿ 
∴由5-2ⁿ＞0可知n≤2，5-2ⁿ＜0可知n≥3
而b₂=6，b₃=7，
∴{b_n}中最大项是b₃=7
∴M≥7   
∴M的最小值为7   
∴m=7           …（8分）
（3）证明：Cn=n+

2

，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_p•b_r
∴(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0
∵p、q、r∈N^*   
∴

q2=pr 2q-p-r=0

∴p=r与p≠r矛盾
∴{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列   …（12分）

点评：本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．