题目内容
在直角坐标系xOy中，椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）直线l：y=x+m与C1交于A、B两点，若
•
=0，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
| 3 |
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）直线l：y=x+m与C1交于A、B两点，若
| OA |
| OB |
分析：（1）由抛物线的方程可得F2（1，0），准线方程为x=-1，可得c=1，再由抛物线的定义可得|MF2|=x-（-1）=
，可得得M的横坐标x，代入抛物线方程可得y，由点M已知椭圆上，可得ab的方程，结合a2=b2+c2，联立可解ab，可得方程；
（2）设直线l：y=x+m与C1交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，联立直线与椭圆的方程，消y整理为关于x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2和x1•x2，可得y1•y2，而
•
=x1•x2+y1•y2=0，代入数据可得关于m的方程，解之代入可得直线方程．
| 5 |
| 3 |
（2）设直线l：y=x+m与C1交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，联立直线与椭圆的方程，消y整理为关于x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2和x1•x2，可得y1•y2，而
| OA |
| OB |
解答：解：（1）由y2=4x可得其焦点的坐标为F2（1，0），
准线方程为x=-1，故可得在椭圆中c=1，
又由抛物线的定义可得|MF2|=x-（-1）=
，
解得M的横坐标为x=
，代入抛物线方程可得y=
，
故点M（
，
）也在已知椭圆上，故有
+
=1
结合a2=b2+c2=b2+1可解得a2=4，b2=3
故C1的方程为
+
=1
（2）设直线l：y=x+m与C1交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
联立方程
消y并整理得，7x2+8mx+4m2-12=0，
该方程的两根为x1，x2，由韦达定理可得x1+x2=-
，x1•x2=
又由点AB也在直线y=x+m可得y1•y2=（x1+m）（x2+m）
=x1•x2+m（x1+x2）+m2
=
-
m+m2=
由
•
=x1•x2+y1•y2=
+
=0可解得m=±
故所求直线l的方程为y=x±
，即x-y±
=0
准线方程为x=-1，故可得在椭圆中c=1，
又由抛物线的定义可得|MF2|=x-（-1）=
| 5 |
| 3 |
解得M的横坐标为x=
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
故点M（
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 4 |
| 9a2 |
| 24 |
| 9b2 |
结合a2=b2+c2=b2+1可解得a2=4，b2=3
故C1的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l：y=x+m与C1交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
联立方程
|
该方程的两根为x1，x2，由韦达定理可得x1+x2=-
| 8m |
| 7 |
| 4m2-12 |
| 7 |
又由点AB也在直线y=x+m可得y1•y2=（x1+m）（x2+m）
=x1•x2+m（x1+x2）+m2
=
| 4m2-12 |
| 7 |
| 8m |
| 7 |
| 3m2-12 |
| 7 |
由
| OA |
| OB |
| 4m2-12 |
| 7 |
| 3m2-12 |
| 7 |
| ||
| 7 |
故所求直线l的方程为y=x±
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
点评：本题考查椭圆方程的求解以及直线与椭圆的位置关系，涉及向量的数量积的运算，属中档题．
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