Question

定义在R上的f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且g（-1）=0，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），当x₁＜x₂时，恒有f（x₂）g（x₂）＞f（x₁）g（x₁），则不等式f（x）g（x）＜0的解集为

 

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Answer 1

分析：令F（x）=f（x）g（x），由题意可得，F（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，F（x）为增函数，作出其图象，借助图象即可判断出答案．

解答：解：令F（x）=f（x）g（x），∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴F（x））=f（x）g（x）为奇函数，
又对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），当x₁＜x₂时，恒有f（x₂）g（x₂）＞f（x₁）g（x₁），
∴当x∈（0，+∞）时，F（x）为增函数，由F（x）为奇函数，可知，当x∈（-∞，0）时，F（x）为增函数，
又g（-1）=0，
∴F（-1）=-F（1）=0，作出F（x）的图象，

由图知不等式F（x）=f（x）g（x）＜0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1}．
故答案为：{x|x＜-1或0＜x＜1}．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，考查分析与理解能力，作图能力，构造函数的能力，作出F（x）=f（x）g（x）的图象是关键，属于中档题．