Question

已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处切线的斜率为3，数列{

1

f(n)

}的前n项和为s_n，则s₂₀₀₀的值为

 

．

Answer 1

分析：先由函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处切线的斜率为3，求出b，进而求出数列{

1

f(n)

}的通项，再利用裂项相消求和法求其和即可．

解答：解：因为函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处切线的斜率为3，
所以有f'（1）=2×1+b=3?b=1．
∴f（n）=n²+n?

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴s₂₀₀₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2000

-

1

2001

=1-

1

2001

=

2000

2001

．
故答案为：

2000

2001

点评：解决本题的关键在于利用函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处切线的斜率为3，求出b，进而求出数列{

1

f(n)

}的通项，并且考查了裂项相消求和法．