Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常数，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e2]上有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据x=2是函数f（x）的极值点则f′（2）=0，可求出a的值，然后求出f′（1）得到切线的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程；
（II）先求导函数，然后利用导数研究函数在[

1

e

，e2] 上的单调性，求出函数的极值和区间端点的函数值，从而可求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 定义域为（0，+∞），f′（x）=a×（-

1

x2

）+

1

x

=

x-a

x2

∵x=2是函数f（x）的极值点，
∴f′（2）=

2-a

4

=0，解得a=2
∴f′（x）=

x-2

x2

∴f′（1）=-1
又f（1）=1
∴所求切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0为所求．…6分
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=

1

x

+lgx-1，f′（x）=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e2]，
当x∈[

1

e

，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，e²]时，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e2] 上唯一的极小值点，
∴[f（x）]_min=f（1）=0
又f（

1

e

）=e-2，f（e²）=

1

e2

+lge2-1=

1

e2

+1，f（

1

e

）-f（e²）=e-2-

1

e2

-1＜0
综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e-2}．…12分．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究函数在闭区间上的值域，同时考查了计算能力，属于中档题．