题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在
上是减函数，求实数
的最小值；
（2）若存在
，
，使
成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出
的范围即可； （2）问题等价于当
时，有
，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的具体范围即可．
解：已知函数
的定义域为
.
(1)因为在
上为减函数，故
在
上恒成立，即当
时，
.
又
，
故当
，即
时，
.
所以
，于是
，故的最小值为.
(2)命题“若存在
，
使
成立”等价于“当时，有
”.
由(1)知，当时，，所以
.
故问题等价于：“当时，有
”
①当时，由(2)知，
在
上为减函数，
则
，故
.
②当
，时，
，由(1)知，函数
在上是减函数，
，所以
，与矛盾，不合题意.
综上，得实数的取值范围.
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