Question

已知数列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），定义b_n=a_n•lga_n，如果b_n是递增数列，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由数列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），我们易得数列{a_n}的通项公式，进而给出数列{b_n}的通项公式，结合b_n是递增数列，我们对a的分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，即可求出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：∵a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），
则

an

an-1

=a(n≥2)，
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ
b_n=a_n•lga_n=naⁿlga，
∵b_n是递增数列，
∴对任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．
即（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga，对n∈N^*恒成立．
（1）当a＞1时，lga＞0，
∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga?（n+1）a＞n，
则a＞

n

n+1

∵

n

n+1

＜1，
∴a＞

n

n+1

恒成立．
∴a＞1

（2）当0＜a＜1时，lga＜0，
∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga?（n+1）a＜n，
则a＜

n

n+1

∵当n∈N^*时，

n

n+1

≤

1

2

，
∴0＜a＜

1

2

综上实数a的取值范围：a∈(0，

1

2

)∪(1，+∞)

点评：本题考查的知识点是数列的递推公式及数列的函数特征，由递推公式求出数列{a_n}的通项公式，进而给出数列{b_n}的通项公式是解答的基础，利根据b_n是递增数列，类比函数单调性的性质，求满足条件的实数a的取值范围是解答本题的关键．