Question

曲线y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

x在点x=1处的切线为m，在点x=0处的切线为n，则直线m与n的夹角的取值范围是（　　）

• A、(0，

  π

  6

  ]
• B、(0，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  )
• D、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：先根据导数的几何意义利用导数求出曲线y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

x在点x=1处的切线斜率，再设直线m与n的夹角为θ，结合两直线的夹角公式求得夹角的正切值，最后利用基本不等式求正切值的取值范围即可得出直线m与n的夹角的取值范围．

解答：解：∵y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

x，
∴y′=

1

6

(a+

12

a

)x2-

2

a

，
∴曲线y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

在点x=1处的切线斜率为：
k₁=y=

1

18

(a+

12

a

) -

2

a

，
在点x=0处的切线为k₂=y= -

2

a

，
设直线m与n的夹角为θ，则：
tanθ=|

k 1-k 2

1+k 1k 2

|=|

1

4

(a+

12

a

)|≥

3

，
则直线m与n的夹角的取值范围是[

π

3

，

π

2

)，
故选C．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、两直线的夹角与到角问题等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．