Question

圆锥SO的底面半径为

3

，母线长2，A，B是底面圆周上两动点，过S，A，B作圆锥的截面，当△SAB的面积最大时，截面SAB与底面圆O所成的（不大于

π

2

的）二面角等于（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：利用圆锥的轴截面和截面的性质、直角三角形的性质、勾股定理、二面角的定义、三垂线定理即可得出．

解答：解：如图所示，在轴截面△SAD，Rt△SAO中，sin∠ASO=

OA

SA

=

3

2

，∴∠ASO=60°，∴∠ASD=120°．
因此当△SAB的面积最大时，∠ASB可取得90°．于是AB=

2

SA=2

2

．
取AB的中点C，连接OC，SC．
则OC⊥AB，∵SO⊥底面ABD，∴AB⊥SC，∴∠SCO即为截面SAB与底面圆O所成的（不大于

π

2

的）二面角．
在Rt△OCA中，OC=

OA2-AC2

=

( 3 )2-( 2 )2

=1．
在Rt△SOA中，OS=

SA2-OA2

=1．
在Rt△SOC中，tan∠SCO=

SO

OC

=1，∴∠SCO=

π

4

．
故选B．

点评：熟练掌握圆锥的轴截面和截面的性质、直角三角形的性质、勾股定理、二面角的定义、三垂线定理等是解题的关键．