Question

如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧

AB

的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为

π

4

，求此圆锥的全面积与体积．

Answer 1

分析：由题意和几何体的特征，取OA的中点H，连接PH，QH，利用线面垂直和勾股定理求出母线长和圆锥的高．再代入全面积公式和体积公式求值．

解答：解：取OA的中点H，连接PH，QH，

则PH∥SO，且PH=

1

2

SO，∴PH⊥平面AQB，
∵PQ与SO所成角为

π

4

，∴∠QPH=

π

4

，
在直角三角形△QOH中，∵点Q为半圆弧

AB

的中点，r=10，
∴QH=5

5

，
在直角三角形△PHQ中，

QH

PH

=tan

π

4

=1，则PH=5

5

，即SO=10

5

，
在直角三角形△SOA中，SA=

SO2+OA2

=10

6

，
∴圆锥的全面积S=πr²+πr•SA=100π+100

6

π=100π（1+

6

），
圆锥的体积V=

1

3

πr²•SO=

1

3

π×100×10

5

=

1000 5

3

π，

点评：本题考查了求圆锥的全面积和体积，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．