Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x≥0时,f(x)＜0,f(1)=-2.

(1)判断函数f(x)的奇偶性.

(2)当x∈［-3,3］时,函数f(x)是否有最值？如果有,求出最值;如果没有,请说明理由.

Answer 1

解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y),

∴f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0.

而0=x-x,因此0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),

即f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x).

∴函数f(x)为奇函数.

(2)设x₁＜x₂,由f(x+y)=f(x)+f(y)知

f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)〔f(x)为奇函数〕,

∵(x₂-x₁) ≥0,且x≥0时f(x)＜0,

∴f(x₂-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0,

即f(x₂)＜f(x₁).

函数f(x)是定义域上的减函数,

当x∈［-3,3］时,函数f(x)有最值.

当x=-3时,函数有最大值f(-3);当x=3时,函数有最小值f(3).

f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6,

f(-3)=-f(3)=6.

∴当x=-3时,函数有最大值6;当x=3时,函数有最小值-6.