Question

已知数列{a_n}，a_n=2ⁿ，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1-

1

2n

．

Answer 1

分析：由数列的通项公式a_n=2ⁿ，得到数列{

1

an

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，列举出所示式子的各项，利用等比数列的前n项和公式化简，即可得到结果．

解答：解：由题意得：数列{a_n}为首项是2，公比为2的等比数列，
由a_n=2ⁿ，得到数列{a_n}各项为：2，2²，…，2ⁿ，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

，
∴数列{

1

an

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

．
故答案为：1-

1

2n

点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，其中确定出数列{

1

an

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列是解本题的关键．