Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱D₁D和B₁C₁的中点，
（1）求证：BD₁∥平面EAC；
（2）求证：平面EAC⊥平面BB₁D₁D；
（3）求直线BF与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于O，连接EO，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
（2）利用正方体和正方形的性质、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理即可得出；
（3）作FG⊥B₁D₁于G，利用面面垂直的性质定理可得FG⊥平面BB₁D₁D，连接BG，可知：BG是BF在平面BB₁D₁D上的射影，因此∠FBG是直线BF与平面BB₁D₁D所成角．

解答：解：（1）连接BD交AC于O，连接EO，
∵E、O分别为D₁D、BD的中点，
∴EO∥D₁B，
又EO?平面EAC，D₁B?平面EAC，
∴D₁B∥平面EAC．
（2）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴B₁B⊥AC，
又∵在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．
又AC?平面EAC
∴平面EAC⊥BB₁D₁D．
（3）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴平面A₁B₁C₁D₁⊥平面BB₁D₁D，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面BB₁D₁D=B₁D₁，
作FG⊥B₁D₁于G，∴FG⊥平面BB₁D₁D，
连接BG，∴BG是BF在平面BB₁D₁D上的射影，
∴∠FBG是直线BF与平面BB₁D₁D所成角．
设正方体棱长为a，在Rt△FGB₁中，FG=

2

4

a，
在Rt△BB₁F中，BF=

5

2

a，所以sin∠FBG=

10

10

即直线BF与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

10

10

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、正方体和正方形的性质、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定和性质定理、线面角等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力和推理能力，属于难题．