题目内容
已知向量
=(cosx，sinx)，
=(2cosx，2cosx)，函数f(x)=
•
．
（Ⅰ）求|
|及f(
)的值；K*s5*u
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C+
)=1，c=4，ab=3，求△ABC的周长．
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求|
| a |
| π |
| 24 |
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C+
| π |
| 24 |
分析：（I）根据向量模的公式和平方关系求出向量的模，利用向量的数量积坐标表示和两角和正弦公式、倍角公式对函数解析式进行化简后，再求出f(
)的值；
（II）由（I）和题意求出角C的值，再由余弦定理和a2+b2=（a+b）2-2ab，求出a+b的值．
| π |
| 24 |
（II）由（I）和题意求出角C的值，再由余弦定理和a2+b2=（a+b）2-2ab，求出a+b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵
=(cosx，sinx)，∵|
|=
=1，
∵
=(2cosx，2cosx)，∴f(x)=
•
=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=
sin(2x+
)+1，
∴f(
)=
sin(
+
)+1=
sin
+1=
+1
（Ⅱ）由（I）得，f(C+
)=1得，sin(2C+
)=0，
解得，2C+
=π，则C=
，
∵c=4，ab=3，∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
解得，a+b=5
∴△ABC的周长=a+b+c=9．
| a |
| a |
| cos2x+sin2x |
∵
| b |
| a |
| b |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f(
| π |
| 24 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）由（I）得，f(C+
| π |
| 24 |
| π |
| 3 |
解得，2C+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵c=4，ab=3，∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
解得，a+b=5
∴△ABC的周长=a+b+c=9．
点评：本题是有关向量和三角函数的综合题，涉及了向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式，余弦定理以及整体代换等，考查知识全面、综合，考查了分析问题、解决问题的能力和转化思想．
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