Question

已知实数x，y满足

1≤x+y≤3 -1≤x-y≤1

，则4x+2y的取值范围是

[2，10]

．

Answer 1

分析：方法一：根据实数x，y满足

1≤x+y≤3 -1≤x-y≤1

，可得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，即2≤2y≤2，进而得到2≤4x+2y≤10；
方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x-y），构造方程组可求出m，n值，进而根据不等式的基本性质可得2≤3（x+y）+（x-y）≤10．

解答：解：方法一：∵1≤x+y≤3…①
-1≤x-y≤1，…②
由①+②，得到0≤2x≤4  ④
④×2 得到 0≤4x≤8 ⑤
由①-②，得到2≤2y≤2⑥
最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10
故答案为：[2，10]
方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x-y）
则

m+n=4 n-n=2

解得

m=3 n=1

即4x+2y=3（x+y）+（x-y）
∵1≤x+y≤3
∴3≤3（x+y）≤9…①
又∵-1≤x-y≤1，…②
∴2≤3（x+y）+（x-y）≤10
故答案为：[2，10]

点评：本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握．