Question

   在四棱锥P—ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2。

   （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

   （Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；

   （Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角Q—BD—P为45°。

Answer 1

解：（1）取PD的中点F，连接EF，AF，

因为E为PC中点，所以EF//CD，且，

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，

所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，

所以BE//AF，

BE平面PAD，AF平面PAD，

所以BE//平面PAD。                 …………3分

   （2）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，

所以PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD。

如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz。

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）

所以

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

所以BC⊥平面PBD。                 …………7分

   （3）平面PBD的法向量为=（-1，1，0）

所以Q

设平面QBD的法向量为

则，

所以，

所以

注意到                           …………12分