Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，若

am•an

=2a1，则

1

m

+

9

n

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：由已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，可求出公比q的值，再由

am•an

=2a1，及通项公式即可求出m+n=4，进而再由基本不等式即可求出

1

m

+

9

n

的最小值．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，∴a₂₀₁₁q=a₂₀₁₁+

2a2011

q

，
∵a₂₀₁₁＞0，∴q=1+

2

q

，∴q²-q-2=0，解得q=2，或q=-1，∵q＞0，∴q=-1应舍去．∴q=2．
∴am=a12m-1，an=a12n-1，∴

aman

=

a 2 1 ×2m+n-2

=2a₁，解得m+n=4．
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

×(m+n)(

1

m

+

9

n

)=

1

4

×(1+9+

n

m

+

9m

n

)≥

1

4

×(10+2

n m × 9m n

)=4．
当且仅当

n

m

=

9m

n

，即n=3m及m+n=4，亦即

m=1 n=3

时取得最小值4．
故答案为4．

点评：本题综合考查了等比数列的通项公式和基本不等式的性质，深刻理解以上知识和方法是解决问题的关键．