Question

数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求最小的自然数n，使a_n≥2013．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出a₂，a₃，由a₁，a₂，a₃成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；
（2）利用累加法可求得a_n，注意检验n=1时是否满足；
（3）代入通项公式可把a_n≥2013变为关于n的不等式，解出n的范围，然后检验取其最小值即可；
解答：解：（1）a₁=3，a₂=3+c，a₃=3+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴（3+c）²=3（3+3c），
解得c=0或c=3．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=3．
（ 2）当n≥2时，由a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…a_n-a_n-1=（n-1）c，
得．
又a₁=3，c=3，∴．
当n=1时，上式也成立，
∴．
（3）由a_n≥2013得，即n²-n-1340≥0，
∵n∈N^*，∴，
令n=37，得a₃₇=2001＜2013，令n=38得a₃₈=2112＞2013，
∴使a_n≥2013成立的最小自然数n=38．
点评：本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．