题目内容
已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是
3
3
．分析：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b，作出二面角A-CD-E的平面角、二面角B-AC-D的平面角，利用cos∠AGE=cos∠BFD，即可求得结论．
解答：
解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．
取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A-CD-E的平面角．
由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B-AC-D的平面角．
AG=EG=
，BF=DF=
，AE=2
=2
．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得
=
．
∴
=
，∴9b2=16a2，
∴b=
a，从而b=2，2a=3，AE=2．
∴最远的两个顶点距离为3．
故答案为：3
解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A-CD-E的平面角．
由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B-AC-D的平面角．
AG=EG=
| b2-a2 |
2a
| ||
| b |
b2-(
|
b2-
|
由cos∠AGE=cos∠BFD，得
| 2AG2-AE2 |
| 2AG2 |
| 2BF2-BD2 |
| 2BF2 |
∴
4(b2-
| ||
| b2-a2 |
| 4a2b2 |
| 4a2(b2-a2) |
∴b=
| 4 |
| 3 |
∴最远的两个顶点距离为3．
故答案为：3
点评：本题考查与二面角有关的立体几何的综合，考查二面角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．
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