Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，其定义域是 
∴                   
令，即，
解得或．
，
∴舍去．                        
当时，；当时，．
∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴ 函数只有一个零点．             
（Ⅱ）显然函数的定义域为
∴
①当时，在区间上为增函数，不合题意
② 当时，等价于，
即的单调递减区间为．依题意，得解之得．                     
③  当时，等价于，
即的单调递减区间为，
∴     得，实数的取值范围是        
法二：
①当时，在区间上为增函数，不合题意
②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间上恒成立，
只要恒成立，

解得或，实数的取值范围是