题目内容
已知不等式
+
+…+
＞
，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤
，n=2，3，4，…．证明：an＜
，n=3，4，5，…．
【答案】分析：欲证明：an＜
，设f（n）=
+
+
，首先利用数学归纳法证不等式an＜
，再结合条件即可解决．
解答：证明：设f（n）=
+
+
，首先利用数学归纳法证不等式an＜
，n=3，4，5．
（ⅰ）当n=3时，由a3≤
=
≤
=
，知不等式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak＜
，则ak+1≤
=
＜
=
=
=
即当n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，an＜
，n=3，4，5．．
又由已知不等式得an＜
=
，n=3，4，5，…
点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式．设P（n）是关于自然数n的命题，若：1°P（n）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n的自然数n都成立
，设f（n）=
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，首先利用数学归纳法证不等式an＜
，再结合条件即可解决．解答：证明：设f（n）=
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，首先利用数学归纳法证不等式an＜
，n=3，4，5．（ⅰ）当n=3时，由a3≤
=
≤
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，知不等式成立．（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak＜
，则ak+1≤
=
＜
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即当n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，an＜
，n=3，4，5．．又由已知不等式得an＜
=
，n=3，4，5，…点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式．设P（n）是关于自然数n的命题，若：1°P（n）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n的自然数n都成立
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