Question

(文科做)如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁＝D是CB延长线上一点，且BD＝BC．

(Ⅰ)求证：直线BC₁//平面AB₁D；

(Ⅱ)求二面角B₁－AD－B的大小；

(Ⅲ)求三棱锥C₁－ABB₁的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：CD//C1B1，又BD＝BC＝B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1． 　　又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D． 　　(Ⅱ)解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1， 　　∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD， 　　∴∠B1EB是二面角B1－AD－B的平面角， 　　∵BD＝BC＝AB， 　　∴E是AD的中点， 　　在Rt△B1BE中， 　　∴∠B1EB＝60°． 　　即二面角B1―AD―B的大小为60° 　　(Ⅲ)解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C， 　　∴AF⊥平面BB1C1C 　　 　　即三棱锥C1－ABB1的体积为 　　解法二：在三棱柱ABC－A1B1C1中， 　　即三棱锥C1－ABB1的体积为