Question

设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h₁+h₂+h₃+h₄=    ．

Answer 1

【答案】分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．
解答：解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，
本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，
如图：
由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把数据代入得到OE=a，
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，
故答案为：a．
点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．