Question

已知椭圆，圆C：x²+（y-2t）²=t²（t＞0），过椭圆右焦点F₂作圆C切线，切点为A，B
（1）当t=1时，求切线方程
（2）无论t怎样变化，求证切点A，B分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出F₂（1，0）当切线斜率存在时设为k即切线方程为：y=k（x-1）再由圆心（0，2）到圆心的距离为1即可求出k．当斜率不存在时可直接写出切线方程x=1．
（2）由（1）知可求出切线方程为与x=t再与圆x²+（y-2）²=1联立求得B（）A（t，2t）然而，k_oA=2k_OB=-2故切点A，B分别在两条相交的定直线上的直线方程为y=-2x，y=2x．
解答：解：当t=1椭圆为：圆C为：x²+（y-2）²=1
∵a²=1，b²=1
∴c²=1
∴F₂（1，0）
当过F₂与圆相切的切线斜率存在时设为k则切线方程为y=k（x-1）故
∴k=
∴即3x+4y-3=0
当过F₂与圆相切的切线斜率不存在时则切线方程为x=1
综上当t=1时切线方程为3x+4y-3=0，x=1
（2）∵a²=2t²，b²=t²
∴c²=t²
∴F₂（t，0）（t＞0）
由（1）知切线斜率存在时设为k则切线方程为y=k（x-t）
∴
∴k=
∴切线为与圆x²+（y-2）²=1联立求得B（）
当切线斜率不存在时切线为x=t则且点A（t，2t）
k_oA=2k_OB=-2
∴L_OA：y=-2xL_OB=2X
∴A，B分别在y=-2x，y=2x上且y=-2x，y=2x相交与点（0，0）
点评：此题主要考查了利用椭圆与圆的有关知识求圆的切线．第一问t=1而第二问t不定而对于此类问题常采用把切线的方程设出来在根据圆心到直线的距离等于半径求出斜率，但要注意的是要分斜率存在与否进行讨论．第二问关键是要发现k_oA=2k_OB=-2这一隐含结论！故切点A，B分别在两条相交的定直故切点A，B分别在两条相交的定直线上的直线方程为y=-2x，y=2x．