Question

已知矩阵M=

a 2 7 3

，
（1）若矩阵M的逆矩阵M-1=

b-2 -7a

，求a，b；
（2）若a=-2，求矩阵M的特征值．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，求出矩阵M，由M•M^-1=E，列出关于a，b的方程组即可求得a，b．．
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值．

解答：解（1）由题意知：MM^-1=E，（2分）

a2 73

b-2 -7a

=

10 01

，
即：

ab-140 7b-213a-14

=

10 01

，

ab-14=1 7b-21=0 3a-14=1

，（6分）
∴解得：a=5，b=3．（8分）
（2）a=-2时，矩阵M=

-22 73

的特征多项式为f（λ）=

.

λ+2-2 -7  λ-3

.

=（λ+2）（λ-3）-14=λ²-λ-20，
令f（λ）=0，（12分）
得到M的特征值为λ₁=5，λ₂=-4．（14分）

点评：本题主要考查矩阵特征值与特征向量、逆矩阵、逆变换及其计算能力，难度不大，做题要仔细．