Question

关于x的方程2x²-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=

4x-t

x2+1

.
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．
（3）对任意正数x₁．x₂，求证：|f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)|＜2|α-β|（文科不做）

Answer 1

分析：（1）由根与系数的关系得，α+β=

t

2

，αβ=-1.，即可求出求f（α）和f（β）的值．
（2）求出函数的导函数，判断函数的导函数在[α，β]的值大于0，即可证明函数在区间[α，β]上是增函数．
（3）先判断出

x1α+x2β

x1+x2

和

x1β+x2α

x1+x2

的区间，根据（2）的证明，即可证的上述证明．

解答：解：（1）由根与系数的关系得，α+β=

t

2

，αβ=-1.
∴f(α)=

4α-t

α2+1

=

4α-2(α+β)

α2-αβ

=

2

α

=

8

t- t2+16

=-

1

2

(t+

t2+16

).
同法得f（β)=

1

2

(

t2+16

-t).（4分）（文科7分）
（2）证明：∵f^/（x）=

4(x2+1)-(4x-t)2x

(x2+1)2

=

-2(2x2-tx-2)

(x2+1)2

，而当x∈[α，β]时，
2x²-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故当x∈[α，β]时，f^/（x）≥0，
∴函数f（x）在[α，β]上是增函数．（9分）（文科14分）
（3）证明：

x1α+x2β

x1+x2

-α=

x2(β-α)

x1+x2

＞0，

x1α+x2β

x1+x2

-β=

x1(α-β)

x1+x2

＜0，
∴α＜

x1α+x2β

x1+x2

＜β，
同理α＜

x1β+x2α

x1+x2

＜β．
∴f(α)＜f(

x1β+x2α

x1+x2

)＜f(β)，故-f(β)＜-f(

x1β+x2α

x1+x2

)＜-f(α).（11分）
又f（α)＜f(

x1α+x2β

x1+x2

)＜f(β).两式相加得：-[f(β)-f(α)]＜f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)＜f(β)-f(α)，
即|f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)|＜f(β)-f(α).（13分）
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴|f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)|＜2|α-β|．（14分）

点评：此题主要考查函数单调性的判断即相关证明．